OpenAI hat bekannt gegeben, dass sein fortschrittlichstes Modell eines der Millennium-Prize-Probleme gelöst hat, für die jeweils ein Preisgeld von US$1 Million ausgelobt ist. Das Modell hat mathematisch gezeigt, dass die Navier–Stokes-Gleichungen aus dem neunzehnten Jahrhundert, die die Bewegung von Fluiden beschreiben, eine „Singularität“ erzeugen können, die für Gase oder Flüssigkeiten physikalisch unmögliche unendliche Geschwindigkeiten vorhersagt.
Die Lösung des in San Francisco, California, ansässigen Unternehmens untersucht den Fall, dass sich ein Flüssigkeitswirbel in die Länge zieht und sehr lang und dünn wird. Laut George Karniadakis von der Brown University tritt dieser Zustand in der Luft auf, wenn der Wirbel auf eine Breite von etwa 70 Nanometern schrumpft. Diese Entfernung entspricht der typischen Strecke, die ein Luftmolekül zurücklegt, bevor es mit einem anderen Molekül zusammenstößt. Die Navier–Stokes-Gleichungen behandeln das Fluid als kontinuierliche Materie statt als Ansammlung unregelmäßig verteilter Moleküle; bei einer Größenordnung von nur wenigen Molekülen verliert diese Annahme ihre Gültigkeit.
Charles Fefferman von der Princeton University weist darauf hin, dass bereits bekannt sei, dass die Gleichungen in kompressiblen Fluiden Singularitäten erzeugen können. Auch verdünnte Gase können die Gleichungen nicht gut modellieren; daher sind sie für den Wiedereintritt eines Raumfahrzeugs in die obere Atmosphäre oder für Strömungen in mikroskopischen Kanälen unzureichend.
Eine Alternative ist die Boltzmann-Gleichung, die das Gas anhand des statistischen Verhaltens einzelner Moleküle beschreibt. Yu Deng von der University of Chicago sagt, es sei unklar, ob auch diese Gleichungen unter bestimmten Bedingungen versagen könnten, und das Verständnis sei weiterhin begrenzt. Die Moleküle direkt zu simulieren, ist hingegen rechenintensiv. 2024 simulierte ein Supercomputer 155 Milliarden Wassermoleküle; diese Menge füllt in der Regel nur einen Würfel mit einer Kantenlänge von wenigen Mikrometern. Ein weiterer Ansatz ist die „triple decker“-Methode, bei der Molekulardynamik im kleinen Maßstab, die Navier–Stokes-Gleichungen im großen Maßstab und Gleichungen, die dazwischen das mittlere Verhalten darstellen, miteinander kombiniert werden.
Warum das wichtig ist
Diese Entwicklung rückt die Frage in den Vordergrund, bei welchen physikalischen Maßstäben die zur Beschreibung der Fluidbewegung verwendeten Gleichungen zuverlässig bleiben. Dass die Annahme kontinuierlicher Materie auf molekularer Ebene ihre Gültigkeit verliert, macht insbesondere in Bereichen wie dem Wiedereintritt in die obere Atmosphäre und Strömungen in mikroskopischen Kanälen die Grenzen der bestehenden Modelle deutlich. Das Problem beschränkt sich nicht nur auf die Navier–Stokes-Gleichungen; auch bei den Boltzmann-Gleichungen, die auf dem statistischen Verhalten der Moleküle beruhen, ist unklar, ob sie unter bestimmten Bedingungen versagen könnten. Da die direkte Modellierung von Molekülen einen hohen Rechenaufwand erfordert, rücken Methoden in den Vordergrund, die verschiedene Maßstäbe miteinander verbinden. Unter welchen Bedingungen diese Ansätze zuverlässige Ergebnisse liefern und in welchem Umfang sie die bestehenden Unsicherheiten verringern können, bleibt jedoch eine offene Frage.